在昨天的文章中，我复盘了 均值滤波（滑动平均滤波）、中值滤波、指数滤波、高斯滤波 这些基本滤波方法。这些方法虽然简单易用，但在 复杂环境下（如高噪声、动态系统） 可能存在不足。它们有一个共同的问题：
只能基于过去的数据进行简单的平滑处理，但无法预测未来。无法区分真实信号和噪声，一旦数据波动较大，它们可能会使信号失真。
今天，我将复盘更高级的滤波方法：卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF），它的核心特点是：
✅ 能够预测数据的未来趋势
✅ 结合当前数据进行修正，使预测更加准确
✅ 可以处理动态变化的系统，比如目标跟踪、导航定位等
✅ 能够区分信号和噪声，即使数据被干扰，依然能估计出真实值
在查看网上各种关于卡尔曼滤波的资料时，发现几乎都是通过数学模型带领大家了解学习，因此我在考虑如果通过简单直白的方式，让我同组并没有平差基础的学弟学妹了解卡尔曼滤波，所以下面我会用尽量简单、直白的话语和例子来解释和介绍卡尔曼滤波。
1.卡尔曼滤波的核心思想
卡尔曼滤波的思想其实很简单，就是 不断进行“预测”和“修正”：
预测：基于之前的数据，估算当前的值。修正：用传感器或测量数据，对预测值进行调整，使其更加准确。重复上述步骤，不断优化，使误差越来越小。
2.状态变量（State Variables）是什么
在卡尔曼滤波中，我们用一个状态变量 来描述系统的状态。
比如，在定位问题中，状态变量可能包含：
仅位置： 位置 + 速度： 位置 + 速度 + 加速度：
卡尔曼滤波的目标就是估计状态变量
3.下面结合实际，来简单的讲述卡尔曼滤波的公式：
假设一个汽车：
当前在 5 米 的位置。速度是 2 米/秒。你想预测它1 秒后的位置。
那么：预测位置=5+2=7 米
这就是卡尔曼滤波的预测阶段：
：预测的状态，在这个情景下表示为
A: 状态转移矩阵，描述状态如何从上一个时刻 k−1 变化到当前时刻 k。（例如速度的影响）
（可以把状态转移矩阵 A理解为一个“时间推进器”，它决定了当前状态如何变化到下一时刻。
例如：
表示：1. 新位置 = 旧位置 + 速度 × 时间 2. 速度保持不变
B： 控制输入对状态的影响程度（控制矩阵）
：控制输入（Control Input），表示 外部施加的影响，例如 加速、刹车、方向调整等。如果没有外部输入，B 这部分可以忽略。
以上就是你预测汽车位置的一个过程，这在卡尔曼滤波中被定义为：预测阶段（Prediction Step），但是现实世界并不是完美的，测量数据会受到噪声影响，所以就还有接下来的过程，被称作修正阶段（Correction Step）
如果你用测距仪器（有误差）发现汽车的位置是 6.5 米，而预测是 7 米，你会怎么办？
👉 你不会完全相信预测值（速度或者位置是有一定偏差的 不是确定的5米初始位置和确定的2米/s的速度），也不会完全相信测量值（因为测量值也有误差），而是取一个折中值！取折中值的方式就是其实就是取一个权重
这个过程称为修正（Correction）：
也可以写成：
：测量值（用测量仪测的距离是6.5 米）
：预测值（你自己算出来是7米）
：卡尔曼增益，决定如何在预测和测量之间取折中。其实就相当于一个权重：如果测量值很可靠（传感器误差很小），那么 取较大值，我们更相信测量值。如果测量值噪声较大，那么 取较小值，我们更依赖预测值。
比如我们让=0.75（假设我们认为传感器测量较准确，但也不是说非常非常非常准）
按照公式：汽车真实的位置=0.75⋅6.5+0.25⋅7=6.625 米
上面就是最简单的卡尔曼滤波的过程。
我们刚刚讲的例子里，测量值 和状态变量 都是 位置，所以直接做加权平均即可。但如果测量的不是位置，而是速度，我们该怎么办？
这时候，我们需要引入 观测矩阵 H！
在某些情况中，我们的状态变量不仅仅是位置，还可能包括速度、加速度等多个变量。例如：
但我们的测量设备可能只能测量其中一部分信息，测量值只有速度，我们不能直接做加权平均，而是要从状态变量中提取出速度信息。那么H矩阵在这时候就定为：
那么
（由于测量值仅包含速度，而状态变量同时包含位置和速度，因此我们通过矩阵 HHH 提取状态变量中对应的速度信息，以确保修正过程仅影响速度，而不会改变位置。）
这样，我们就能正确计算修正值：
这就是矩阵 H的作用：只让测量到的部分进行修正，不会影响其他状态变量。
以上就是简单的卡尔曼滤波理解了，简单来说，就是先根据上一时刻状态进行预测，然后结合测量值进行修正，不断优化估计结果。
但是理解了以上的过程，也只是刚刚入门卡尔曼滤波的流程，真正的理解卡尔曼滤波，还需要掌握以下几个关键点：
B 矩阵是什么？ 代表什么？卡尔曼增益 的计算过程
4.B 矩阵与是什么？
B 描述控制输入 如何影响状态，不同的系统有不同的 B 形式。
还是刚刚那个汽车直线运动的例子，在这个例子中，状态变量为
在没有外部控制输入的情况下，状态转移方程为：
其中：
也就是说：
表示：
新位置 = 旧位置 + 速度 × 时间（x=x0+v0t）。速度保持不变（如果没有加速度作用）。
如果汽车受到了加速度 a的作用，那么：
物理规律：
位置变化：速度变化：
那么：
所以控制输入对状态变量的影响：
最终的完整状态预测公式：
这表示：
如果没有外部控制，那么状态仅由 AA 矩阵决定（惯性运动）。如果有外部控制，那么加速度会影响位置和速度，并通过 B 矩阵建模。
✅状态预测 = 惯性运动（） + 控制输入（）。
✅ 如果没有外部控制，=0，状态完全由 A 预测。
✅ 如果有加速度 a，那么 让加速度影响位置和速度，状态预测更加精准！
5.卡尔曼增益 的计算过程
在卡尔曼滤波的修正阶段，我们希望在预测值和测量值之间取一个最佳的折中。
如果测量值很可靠（误差很小），那么我们更应该信任测量值。如果测量值误差较大，那么我们应该更依赖预测值。
计算 之前，先理解“误差”
在卡尔曼滤波中，我们不仅要估计状态（如位置），还要估计这个状态的误差大小。
我们用误差协方差矩阵来衡量估计的可信度：
如果 很大，说明我们的预测值不太可信，误差较大。如果 很小，说明我们的预测值很可靠，误差较小。
此外，测量值也有误差，我们用测量噪声协方差 R来衡量测量值的可信度：
如果 R 很小，说明测量值很准确。如果 R 很大，说明测量值噪声较大，我们应该更依赖预测值。
为了让估计值更准确，我们希望：
如果 预测值不确定性大（很大），那么 变大，更多依赖测量值 。如果 测量值不确定性大（R 很大），那么 变小，更多依赖预测值 。
这个权重的计算公式如下：
看到这个公式，感觉已经不想学了是吧.....（我刚学到的时候也是：这什么xx东西!）
先不要被公式吓到，我们分步拆解它的意义。（当你有耐心看到这里的时候，你已经无敌了）
首先，我们把这个公式里所有的符号代表的意思整理一下：
：这个叫卡尔曼增益，它是我们在进行估计修正（也就是预测修正过程）时用的权重值。
简单来说，就是用来决定我们到底更相信预测值，还是更相信测量值的。
：这个是预测状态的误差协方差矩阵，反映了预测结果（刚刚我们通过起始位置和速度预测出的小车位置）的不确定性。
简单理解：
如果预测越不确定（误差越大），则这个矩阵越“大”。如果预测越准确（误差越小），则这个矩阵越“小”。
H：这个叫做测量矩阵，用来把预测状态（比如位置、速度这些东西）变换成测量空间中的值。
通常 H 会告诉我们，“实际测量到的数据”和“预测的状态”之间是怎样一种关系。
R：这个是测量噪声协方差矩阵，表示我们测量值中误差（用测距仪器得到的汽车位置）的不确定性。
如果测量值越准确（误差越小），则 R 越“小”。如果测量值越不准（误差越大），则 R 越“大”。
上标T（）：代表矩阵转置，简单来说，就是把原来矩阵的行和列交换位置
上标-1：代表矩阵求逆，我们把它看作类似于除法运算的概念，理解为它能“消除”矩阵的作用。
好了 接下来我们解释公式中的：
我们有一个预测的结果（例如：你猜测自己走路去了某个位置，但你不确定你是否猜准了），我们要知道这个预测有多大的误差这个误差到底有多大呢？我们把预测的误差表示为。但是，预测误差通常是表示状态的（比如：位置、速度），而我们测量到的值不一定是位置和速度本身，比如可能只是距离或某个间接的测量量。
此时我们需要一个东西，把预测误差从状态空间（例如位置）“映射”或“换算”到 测量空间（你实际测量到的距离）里去。
这个“换算工具”，就是我们说的 H 矩阵。用更简单的话理解：
是告诉你：“我位置可能不准了”乘以 H，变成了 ，意思就变成了：“假如位置不准了，那么我这个测量值（比如距离）会不准到什么程度？”
这一步本质上在衡量：“预测状态的不确定性”会导致测量空间里的误差到底有多大。
我们测量得到的数据本身也有误差，叫 R。测量本身也会带来不确定性（仪器不准、噪声干扰等）
所以，我们把预测带来的测量空间误差 和测量本身的误差 R 相加：
这个式子告诉你：“如果我同时考虑预测和测量的不确定性，整体误差到底有多大？”
好了，现在我们知道了两个误差：
预测的不确定性（在测量空间）：总的误差（预测不确定性+测量误差）：
接下来，我们就想知道：
在总的误差里面，预测误差到底占了多大的比重？
用数学表达就是用 除以这个总误差 ，得到比例，也就是卡尔曼增益：
那么现在就是如何计算和R了
我们已经知道了：
表示的是预测状态的误差协方差矩阵（预测误差）。R表示的是测量误差协方差矩阵（测量误差）。
接下来我们一个一个详细看：
（一） 如何计算 ？
它的计算公式如下：
别慌，我们再慢慢解释公式中的每个字母：
：当前时刻（k 时刻）预测的误差协方差矩阵：状态转移矩阵（State Transition Matrix），简单理解就是告诉你：“状态是怎么从上一步变化到这一步的？”（类比于最上面公式的A）
比如汽车从上一秒的位置到这一秒的位置，会根据速度发生变化，就是描述这种变化关系的矩阵。
：上一时刻（k−1时刻）的误差协方差矩阵（上一步你已经算出来了）。：过程噪声协方差矩阵，。表示的是过程噪声 的方差：
其中：
是过程噪声向量（代表运动模型的不确定性）E[⋅]代表数学期望 反映了不同状态变量（如位置、速度等）之间的噪声关系
这儿就不细讲了，还是需要用到平差里的知识...... 如果感兴趣，后面单独出一章讲吧
（二） 如何计算R？
R 是测量噪声协方差矩阵，表示测量误差大小。你的测量设备（例如GPS、雷达、传感器）本身存在的误差程度。R一般不是计算出来的，而是提前设定的：
因为我们通常事先知道自己用的测量工具大概的误差是多少。
比如你买了一个温度计，厂家就告诉你它的误差大约是 ±0.5℃。再比如你使用GPS，GPS厂家或设备说明书可能告诉你，位置测量精度一般在 ±3米 左右。
📌 实际使用中：
R一般是由设备生产商或者通过实验标定的。如果是多个测量数据组成的测量空间（比如测了距离、速度两个量），那么 RRR 就是个矩阵，每个对角线元素表示各个测量量的不确定性。
这里会有人无法理解几个问题，我这边总结一下，看看有没有你的疑问
1.为什么分子是而不是啊？
答：是你预测的误差，你的误差在于状态空间维度，还是拿最初的汽车运动举例子，你预测的位置或者速度可能存在误差，但我们的测量数据不一定直接测的是位置或速度，可能测的是距离、角度等其他量（测量空间），你需要通过变化矩阵把误差转换到测量空间维度。
2.为什么一会儿是，一会儿是啊？
答：
：预测的误差协方差矩阵（预测不确定性）：更新后的误差协方差矩阵（经过测量值校正后得到的最终不确定性）
直观地用一个生活化例子说明：
比如你早上出门前先预测今天的气温（预测阶段），你猜大概25℃，但是你也知道可能预测有2℃左右的误差：
此时你对温度的不确定性（预测误差）是：25℃ ± 2℃。（这个就是）
然后你看了一眼手机的实时温度测量值（测量阶段），它显示现在是24℃，你知道手机的测量误差可能是±1℃：
这时候你要修正自己的预测，你一定会根据“自己预测误差（2℃）”和“手机测量误差（1℃）”两个值去综合考虑。
你用的预测误差（2℃）就是 ：
因为此时你还没真正确定下来最终值（还没更新）。当你综合手机测量值后，修正成更准确的预测值（比如修正成24.5℃）后，你才得到真正更新后的误差（比如 ±0.8℃），这个更新后的误差才是 。
所以，计算修正（卡尔曼增益）过程中自然只能用预测误差 ，因为此时还没有最终更新值 。
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